Ολα οσα θελατε να μαθετε για ΤΑ ΡΑΝΤΑΡ ΤΗΣ ΤΡΟΧΑΙΑΣ!

[black_hawk]

Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις

Στα μαθηματικά, οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις είναι συναρτήσεις γωνιών. Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις ορίζονται συνήθως ως λόγος των δυο πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου που περιέχει τη δεδομένη γωνία, και μπορούν ισοδύναμα να οριστούν ως το μήκος διαφόρων ευθύγραμμων τμημάτων σε ένα μοναδιαίο κύκλο.



Ένα ορθογώνιο τρίγωνο έχει δύο κάθετες μεταξύ τους πλευρές και μια υποτείνουσα. Οι κάθετες είναι αυτές που σχηματίζουν μεταξύ τους ορθή γωνία, ενώ η υποτείνουσα είναι η τρίτη πλευρά που σχηματίζει οξείες γωνίες με τις υπόλοιπες δύο πλευρές. Στο Σχήμα, οι κάθετες είναι οι πλευρές c και b, ενώ η υποτείνουσα είναι η a. Χρησιμοποιώντας τις πλευρές ενός ορθογωνίου τριγώνου, μπορούν να οριστούν οι τρεις βασικές τριγωνομετρικές συναρτήσεις, το ημίτονο, το συνημίτονο και η εφαπτομένη.

Ημίτονο (sinθ)

Το ημίτονο μιας γωνίας θ ορίζεται ως ο λόγος της απέναντι κάθετης πλευράς προς την υποτείνουσα. Δηλαδή:
sinθ = c/a

Συνημίτονο (cosθ)

Το συνημίτονο μιας γωνίας θ ορίζεται ως ο λόγος της προσκείμενης κάθετης πλευράς προς την υποτείνουσα. Δηλαδή:
cosθ = b/a

Εφαπτομένη (tanθ)

Η εφαπτομένη μιας γωνίας θ ορίζεται ως το πηλίκο της απέναντι (σε σχέση με την γωνία θ) κάθετης πλευράς προς την προσκείμενη κάθετη πλευρά. Δηλαδή:
tanθ = c/b

Ισχύει επίσης: tanθ = sinθ/cosθ

Πυθαγόρειο θεώρημα



a^2 = b^2 + c^2 - (όπου a = το μήκος της υποτείνουσας και b και c = τα μήκη των δύο άλλων πλευρών)

Και, ωραια, αλλα, Πού θα μας χρησιμεύσουν όλα αυτά;

1. Χρειαζόμαστε τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις για να καταλάβουμε το φαινόμενο συνημιτόνου που παρατηρείται στις συσκευές μέτρησης της Τροχαίας (πιστόλια χειρός).

2. Χρειαζόμαστε τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις για να καταλάβουμε πόσο ανοίγει η δέσμη ενός radar ή ενός laser καθώς φεύγει από το πιστόλι του αστυνομικού που μας σημαδεύει.

Παράδειγμα

Ένας κατασκευαστής πιστολιού laser δίνει σαν άνοιγμα της δέσμης τα 3 mrad (τυπική τιμή). Πόσο θα έχει ανοίξει η δέσμη αυτή μετά από 500 m ή μετά από 1000 m που βρίσκεται το αυτοκίνητό μας όταν το μετράει ο τροχονόμος με το πιστόλι;

Θεωρούμε πως η δέσμη έχει μορφή ενός κώνου, όπως στο αριστερό σχήμα.



Αναζητούμε τη διάμετρο d = 2r όταν το h είναι ίσο με 500 m ή με 1000 m.

Γνωρίζουμε ότι η γωνία στην κορυφή του κώνου είναι 3 mrad = 3/1000 rad = 0,003 rad = 0,17 deg

Αν χρησιμοποιήσουμε ένα ορθογώνιο τρίγωνο με γωνία θ/2 = 0,085 deg (φέρνουμε τη διχοτόμο της γωνίας της κορυφής του κώνου για να σχηματίσουμε το ορθογώνιο τρίγωνο ώστε να δουλέψουμε πιο εύκολα) μπορούμε να υπολογίσουμε την εφαπτομένη της γωνίας θ/2:

tanθ/2 = r/h => r = h*tanθ/2 = 500*tan(0,085) = 0,75 m

Άρα, η διάμετρος που μας ενδιαφέρει είναι: d = 2r = 1,5 m

Τόσο είναι το άνοιγμα της δέσμης του laser στα 500 m.

Αν θέλουμε να δούμε το άνοιγμα της δέσμης στα 1000 m θα έχουμε αντιστοίχως:

tanθ/2 = r/h => r = h*tanθ/2 = 1000*tan(0,085) = 1,5 m

Άρα, η διάμετρος που μας ενδιαφέρει είναι: d = 2r = 3 m

Τόσο είναι το άνοιγμα της δέσμης του laser στα 1000 m.

Αυτές είναι οι βασικές γνώσεις που πρέπει να έχουμε για να δουλέψουμε με γωνίες. Δε χρειαζόμαστε τίποτε παραπάνω για να καταλαβαίνουμε αυτά τα μεγέθη όπως τα χρησιμοποιούν οι κατασκευαστές συσκευών μέτρησης ταχύτητας.

* Το σύμβολο ^ σημαίνει δύναμη. Δηλαδή 5^2 = 5*5 = 25

** Τις πράξεις τις κάνουμε με ένα απλό επιστημονικό calculator. Για όσους έχουν windows, πηγαίνουν στα accessories / βοηθήματα και ανοίγουν το calculator. Εκεί επιλέγουν view>scientific και έχουν δυνατότητα να υπολογίζουν γωνίες. Δοκιμάστε να υπολογίσετε μερικές:
tan45 = 1 - Πατάμε 45, μετά tan και τέλος =
sin30 = 0,5 - Πατάμε 30, μετά sin και τέλος =
cos0 = 1 - Πατάμε 0, μετά cos και τέλος =
Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε και rad αντί για deg, αλλά είναι πιο εύκολο να μετατρέψετε τα rad σε μοίρες και μετά να δουλέψετε.

(Συνεχιζεται.. Για οσους αντεχουν!! Εξ'αλλου, μια επαναληψη στην τριγωνομετρια, δεν εβλαψε ποτε κανεναν!! )